על המדידה של המעגל

על המדידה של המעגל

בסוכה (דף ח ע״א), מכדי כמה מרובע יותר על העיגול רביע. ע״כ. לדוגמא, ריבוע שאורך הצלע שלו ארבע ושטחו הוא שש עשרה, שטח המעגל החסום בו, כלומר מעגל שקוטרו ארבע, הוא קצת יותר משתים עשרה. ובמילים אחרות, קטן משטח הריבוע החוסם בקצת פחות מרבע.

התוס' (ד"ה כמה) דנים כיצד להוכיח כלל זה. בתחילה הציעו להביא ראיה מכך שהיקף מרובע החוסם מעגל הינו ארבע פעמים אורך הצלע חלקי קצת יותר משלוש פעמים קוטר המעגל, דהיינו שוב ארבע חלקי שלוש, ושמא יחס השטחים תמיד צריך להיות כמו יחס ההיקפים. אך מיד דחו זאת משום שתופעה זו נכונה רק במקרה מסויים, אך במקרה אחר, כגון ריבוע שלוש על שלוש ומעגל שקוטרו ארבע שהיקף שניהם הוא שתים עשרה, בכל זאת השטח של הריבוע הוא תשע ושטח המעגל הוא שתים עשרה, לא יחס של אחד לאחד כמו יחס ההיקפים. והמחישו עם דוגמא נוספת לכך שגדילה של השטח יכולה להיות מאוד שונה מגדילה של ההיקף, שכן מלבן צר ברוחב אמה וארוך באורך חמש אמות, אמנם היקפו שתים עשרה אך שטחו מצומצם גם מן המעגל וגם מן הריבוע הנזכרים, רק חמש אמות. טעם הדבר, לשון התוספות, לפי כשאתה מניח חוט בריבוע הולך ומיצר לזוויות, וכשאתה מניחו בעוגל מרחיב והולך. עכ"ד. ובמילים אחרות, המעגל הוא העקומה הסגורה שממקסמת את השטח שהיא תוחמת, והאינטואיציה לכך היא הסימטריה שהזוויות בצורות אחרות מיצרות ופוגעות בה.

וניגשו התוס' להוכיח את יחס השטחים של הריבוע החוסם והמעגל, שתעשה נקודה ותקיפנה בחוטין הרבה סביב זה סיבוב אחר סיבוב עד שיגיע המעגל לרוחב טפח, ואחר כך תחתך החוטין מן הנקודה ולמטה ואחר שיחתכו יתפשטו כל החוטין מימין ומשמאל ונמצא כל חוט הולך ומאריך מחבירו עד שאתה מגיע לחוט העליון החיצון דאורכו ג טפחים, על פי הכלל שמעגל שקוטרו טפח יש בהיקפו שלושה טפחים. וכעת אם נסדר את החוטים כמשולש שווה שוקיים שבסיסו הוא החוט הארוך, נקבל משולש שבסיסו הוא שלושה טפחים וגובהו הוא חצי טפח, רדיוס המעגל. שטח המשולש הוא שלושת רבעי, דהיינו שלושה רבעים משטח הריבוע החוסם. ויעויין בתוס' שאף הציעו לחלק את המשולש שווה השוקיים באמצעיתו לשני משולשים ישרי זווית ולצרפם למלבן על מנת לחשב את שטחו בצורה ברורה ביותר.

באמת, השיטה שהציגו התוס' מופיעה כבר כטענה של ארכימדס בחיבורו על המדידה של המעגל, כי השטח של כל מעגל שווה לשטחו של משולש ישר זווית אשר בו אחת הצלעות הסמוכות לזווית הישרה שווה לרדיוס והאחרת להיקף של המעגל. בחשבון המודרני ההוכחה מנוסחת כסכום של כל אורכי הטבעות הצרות כרצוננו המרכיבות את המעגל. בכל מקרה, זהו כמעט אותו חיתוך למשולש שהציעו התוס', בהתחשב שהמשולש שווה השוקיים של התוס' והמשולש ישר הזווית של ארכימדס שקולים משום שבסיסם וגובהם שווה. חיתוך נוסף שאפשר לחשוב עליו הוא חיתוך המעגל למספר משולשים שווי שוקיים רב כרצוננו, כמו פרוסות עוגה, וכך היחס בין שטח המעגל להיקפו שווה יחס בין שטח המשולש לבסיסו, הואיל וסכום בסיסי המשולשים הוא היקף המעגל וסכום שטחיהם הוא שטח המעגל. אך בין כך ובין כך, נובע מטענה זו ששטח המעגל הוא כשלוש פעמים הרדיוס בריבוע, או פאי כפול הרדיוס בריבוע אם ננקוט במונחים של היחס המדוייק בין היקף מעגל לקוטרו הנקרא פאי.

דרך זו של שיערוך השטח של צורות על ידי החלוקה לרצועות דקות שאת טבען אנו מבינים, אנחנו יודעים לחשב את אורכיהן ובאילו טווח וצורה יש להניחן, נעשה בה שימוש על מנת לקבל תוצאות מעניינות נוספות, כגון שטח פנים של ספירה, כלומר שפה של כדור, השווה לארבע פאי כפול רדיוס בריבוע, פי ארבעה משטח המעגל המתאים. דבר תמוה על פניו. תוצאה זו מתקבלת, כמו במקרה של המעגל, על ידי סכימה של שטחי כל הטבעות הצרות כרצוננו המרכיבות את שפת הכדור בתחום של הרדיוסים שלו. הסכום המשוקלל של אינסוף הרצועות הצרות כרצוננו, הוא הדבר הנקרא אינטגרל, ובעזרתו נעשים חישובים אלו ועוד: