99 אחוז
99 אחוז
בפרשת יתרו מוזכרים הדיינים ומערכת המשפט שדנה את ישראל (פרק יח פסוקים כא וכב), ואתה תחזה מכל העם אנשי חיל וכו' ושמת עליהם שרי אלפים ושרי מאות שרי חמישים ושרי עשרות, ושפטו את העם בכל עת וכו'. ובפרשת משפטים מוזכרים הדינים אך גם הרופאים (פרק כא פסוק יט), ורפוא ירפא, ואמרו חז"ל, מכאן שניתנה רשות לרופא לרפא.
כאשר בפני הדיין או השופט עומדת ראיה מרשיעה שאמינותה היא 99%, מן הסתם, ובודאי כאשר אין לו שום דבר קונקרטי הסותר לכך, הוא ינטה לקבל אותה ולהרשיע על פיה. כאשר בפני הרופא עומדת תוצאת בדיקה חיובית שאמינותה היא 99%, מן הסתם וכנ"ל, הוא והפציינט ינטו לקבל אותה להניח שהפציינט חולה במחלה. הרי 99% שההרשעה או התוצאה החיובית הן נכונות, אז מדוע שלא נקבלן.
ננתח את המקרה הבא. ישנה מחלה נדירה ששכיחותה הוא 1% וישנה בדיקה שרמת אמינותה היא 99%. דגמנו אדם אקראי, יוסי, ביצענו לו בדיקה ולמרבה הצער הבדיקה נמצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא באמת חולה?
P(yosii ill | yossi test positive) * P(yossi test positive) = P(yossi test positive | yossi ill) * P(yossi ill)
כך לפי "נוסחת בייס". האינטואיציה היא ששני צידי המשוואה שקולים להסתברות ששני המאורעות קרו ("A וגם B") רק בניסוח אחר (האינטואיציה של הסתברות מותנה).
כעת, הנתון המבלבל הוא
P(yossi test positive | yossi ill) = 0.99
אבל אנחנו הרי רוצים לדעת בדיוק את ההפך, וכאן מקור הטעות
P(yossi ill | yossi test positive) = ?
ואכן החישוב הנכון הוא (לפי בייס והעברת אגף)
P(yossi ill | yossi test positive) = 0.99 * 0.01 / P(yossi test positive)
ולפי נוסחת ההסתברות השלמה
P(yossi test positive) = P(yossi test positive | yossi ill) + P(yossi test positive | yossi not ill) = 0.99 * 0.01 + 0.01 * 0.99 = 0.0198
ומתקבל
P(yossi ill | yossi test positive) = 0.99 * 0.01 / 0.0198 = 0.5
התוצאה היא ש50% שהנאשם באמת אשם או שהאדם באמת חולה. אלו לא סיכויים נמוכים, אבל בודאי שלא סיכויים מרשיעים. צריך לדעת שרמת המובהקות של ראיה או בדיקה שנראות משכנעות היא דבר התלוי בשכיחות של הקביעה אותה אנו רוצים לקבוע וכאשר הקביעה אינה מספיק שכיחה והבדיקה אינה מושלמת, ההסתברות שהקביעה נכונה יכולה להיות לא מספקת.
הרב מיכאל אברהם מסביר לפי זה את הצורך בדבר מה נוסף, אפילו אם הוא נראה קלוש, על מנת להרשיע או לתת דיאגנוזה אמינה. לדוגמא, כך מקובל במשפט הישראלי לקבל הודאה של נאשם בנוסף לדבר מה נוסף לחזק אותה. הודאה היא כמובן ראיה חזקה עד למאוד אך לא וודאית במאת האחוזים. ישנן גם הודאות שנובעות מלחצים או ממצבים נפשיים מסויימים. כעת, אם הודאה היא ראיה וודאית ב99% וההסתברות לאשמה של בן אדם אקראי שבחרנו (נניח, מתוך 100 אנשים שהסתובבו בסמוך לזירת הפשע) היא 1%, ההסתברות שבן אדם זה אשם לאחר שיודה היא רק 50%, אחוז שאינו מספק כלל וכלל להרשעה. אך אם על ידי דבר מה נגדיל את ההסתברות האפריורית (ההסתברות מבלי הנתון הנוסף של ההודאה) שאדם זה אשם ל15% כגון בכך שהוא גם איים על הקרבן וכדו', ההתסברות הפוסטריורית (ההסתברות הסופית בהינתן ההודאה) גדלה לכ95%.
ואותו הדבר גם לגבי רופא. ניתן להכריע על סמך בדיקה שנראית מדוייקת, רק אם הקביעה מסתברת ברמה מסויימת גם אלמלא הבדיקה, אם זה בגלל שהקביעה שכיחה באוכלוסיה או בגלל שבאדם המסויים ישנן סיבות נוספות, כגון סיבות גנטיות או סימפטומים, המעלות אצל אנשים כמותו את השכיחות לאותה קביעה. שילוב הדברים, קביעה סבירה מלכתחילה יחד עם בדיקה ברמת מובהקות גבוהה, אלו שיוכלו לאמת את הקביעה בהסתברות כמעט וודאית:
תגובות
הוסף רשומת תגובה