סוכה עגולה ושיעורי חז״ל

סוכה עגולה ושיעורי חז״ל

בסוכה, דף ז ע״ב, אמר ר׳ יוחנן, סוכה העשויה ככבשן, דהיינו עגולה, אם יש בהיקפה כדי לישב בה כד בני אדם כשרה ואם לאו פסולה. כמאן, כרבי דאמר כל סוכה שאין בה ארבע על ארבע אמות פסולה, ולכן צריך סוכה כה גדולה.

שואלת הגמרא, מכדי גברא באמתא יתיב, כל שיש בהקיפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח, בתריסר סגי. הרי כלל לומדים מימו של שלמה שהחשבון הוא כך שקוטר מעגל הוא שליש מהיקפו. או באופן שקול, היחס בין היקף מעגל לקוטרו הוא 3. אם כן, כאשר יושבים עשרים וארבעה אנשים בהיקף הסוכה, הרי הקוטר שלה הוא ח׳ אמות ודי היה בשנים עשר אנשים כדי שהקוטר יהיה ד׳ אמות כנדרש, לכאורה, על פי רבי.

עונה הגמרא, הני מילי בעיגולא, אבל בריבועא בעיא טפי, כלומר, רבי מצריך שטח כשל ריבוע ד׳ על ד׳ ולא רק קוטר ד׳ אמות, לכן לא די בהיקף פי שלושה מד׳, שתיים עשרה אמות, אלא יתר מכך. לאחר מכן מבררת הגמרא את היקף המעגל החסום בריבוע, מעירה שזה לא רלוונטי, ואת היקף המעגל החוסם ריבוע. שואלת הגמרא, מכדי כל אמתא ותרי חומשא באלכסונא, דהיינו אלכסון של ריבוע גדול פי 1.4 מצלעו, ואם כן, בשיבסר נכי חומשי סגיא. די בהיקף של 16.8, שהוא פי שלושה מ5.6, שהוא פי 1.4 מ4. מיישבת הגמרא לבסוף שהמידה שר׳ יוחנן מצריך היא כד אנשים שישבו מחוץ להיקף, כך שהקוטר קטן יותר בשתי אמות, שהן שש אמות פחות בהיקף, 18 ולא 24. ובאמת היה ניתן להסתפק בהיקף 16.8 ובקוטר 5.6, אלא שר׳ יוחנן נקט היקף 18 וקוטר 6 משום שלא דק, ולחומרא לא דק.

מביאה הגמרא נסיון תשובה נוסף, רבנן דקיסרי ואמרי לה דייני דקיסרי אמרי, עיגולא דנפיק מגו ריבועא רבעא, דהיינו שהיקף הריבוע החוסם את המעגל הוא פי 4/3 מהיקף המעגל, כפי שהזכירה הגמרא כבר קודם לכן בסוגיא וככתוב במשנה במסכת אהלות (פרק יב משנה ו), וריבועא דנפיק מגו עיגולא פלגא, דהיינו שהיקף המעגל החוסם את הריבוע איננו פי 1.05 כפי שיוצא על פי כללי החישוב בסוגיא, אלא פי 1.5. על פי חכמי קיסריה המספר שנקב ר׳ יוחנן, 24 אמות, מתיישב היטב ואינו חוסר דיוק, שכן 24 הוא פי 1.5 מ16 אמות, ההיקף הנדרש מריבוע ד׳ על ד׳. אכן, דוחה זאת הגמרא, ולא היא דהא קחזינן דלא הוי כולי האי. אנחנו רואים שהיחס בין היקף המעגל החוסם והריבוע החסום אינו כה גדול.

והחשבונות בסוגיא זו מעלים כמה קשיים. ראשית, הגמרא הזכירה שני כללי חישוב בסיסיים. האחד, שהיקף המעגל גדול פי שלושה מקוטרו. השני, שאלכסון הריבוע גדול פי 1.4 מצלעו. שני חישובים אלו, כידוע, אינם מדוייקים. היקף המעגל גדול פי מספר הנקרא פאי השווה בקירוב 3 ושביעית. היקפו של משושה שווה צלעות גדול פי שלושה מקוטרו וקל לראות כי היקף המעגל החוסם גדול מכך. כמו כן, אלכסון הריבוע הוא שורש 2 השווה קצת יותר מ1.414. הרי אם שורש 2 הוא 1.4, אזי 1.4 כפול 1.4 צריך להיות שווה 2, ואנחנו יודעים כי הוא שווה פחות מכך, 1.96. אם כן, מדוע קבעו חכמים את כללי החישוב האלו וכיצד הגמרא מבצעת חשבונות על פיהם, בפרט אם חשבונות אלו נעשים בדיני תורה ולקולא להכשיר סוכה אף שאינה כשיעור.

שנית, דברי חכמי קיסרי סתומים וחתומים הן בראשיתם והן באחריתם. מדוע פתחו והביאו חכמי קיסרי את החישוב שכבר נאמר במשנה באהלות שהיקף הריבוע החוסם גדול פי 4/3 מהיקף המעגל החסום, וגם אם חכמי קיסרי ראו צורך להזכיר את המשנה באהלות, מדוע הגמרא ראתה צורך להזכיר שוב את החישוב שכבר הובא לעיל בסוגיא ונדחה משום שהסוגיא עוסקת במעגל חוסם ולא במעגל חסום. והמשך דברי חכמי קיסרי קשה אף יותר, כיצד נקבו בחישוב המופקע שהיקף המעגל החוסם גדול פי 1.5, חישוב הגדול לאין שיעור מכל קירוב שהוא. בנוסף, עצם הצורך של הגמרא בתירוץ נוסף ובהבאת דברי חכמי קיסרי קצת תמוה. אכן, התירוץ הראשון קצת דחוק בכך שהעמיד את ר׳ יוחנן בחוסר דיוק, אבל מה העניין לנסות לעקוף את חוסר הדיוק בעזרת חישוב נוסף. במה החישוב הנוסף, אם הוא נכון, יכול להיות שונה מהחישוב הראשוני שהגמרא הניחה כבר כנכון. 

הנה, כתב הרמב״ם בפירוש המשניות עמ״ס עירובין (פרק א משנה ה), יש לך לדעת כי יחוס אלכסון העגולה אל המסבב אותה, דהיינו היחס בין היקף המעגל לקוטרו, בלי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת. וחסרון זו ההשגה אינה מאיתנו וכו׳, אבל הוא בטבעו זה הדבר בלי ידוע ואין במציאותו שיושג אבל יוודע זה בקירוב וכו׳. ודרך המופת בזה הקירוב אשר עליו סומכין חכמי החכמות הלימודיות הוא ייחוס האחד לשלושה ושביעית, וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה שלוש אמות ושביעית בקירוב. ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקירוב, לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח, וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה. עכ״ד.

ובכותבו כי מספר זה, היחס בין היקף המעגל לקוטרו, הנקרא גם פאי, בלתי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת, כוונתו להגדרת המספרים האי רציונליים, הגדרה שתתפתח רק כמה מאות שנים לאחר מכן. מספרים לא רציונליים הינם מספרים שאי אפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים. כך הוא הפאי וכן שורש 2. לדוגמא, ניתן להוכיח שלא ניתן לבטא את שורש 2 על ידי מנה של שני מספרים שלמים. אם כן, המספרים האי רציונליים קיימים, כפי שהיתר במשולש ישר זווית קיים, אך ישנה בעיה בלבטא אותם. בגלל האתגר האינהרנטי לכמת את המספר, מחדש הרמב״ם כי קבעו חכמים קירוב של שלוש או 1.4 לדון על פיהם אפילו בעניינים של תורה. פער מהותי בהגדרת המספר גורר גם קירוב שניתן להתייחס אליו כמהותי.

הרשב״ץ בשו״ת התשב״ץ (חלק א סימן קסה) מעלה הסבר נוסף, או שנאמר שהם כשנשאו ונתנו בזה על עיקרים אלו עשו זה לקרב ההבנה אל התלמידים לפי שלעולם ישנה אדם לתלמידו בדרך קצרה וכו׳, אבל לעניין מעשה יש לנו לדקדק העניין על פי הדקדוק האמיתי, ומסרוהו לחכמים יודעי השיעורים, נמצא כי ההלכה מסורה לתלמידים המתחילים והמעשה מסור אל החכמים לדקדקו על פי האמת, וזה הדרך ישר בעיני לתקון דבריהם. עכ״ד. הרי שהחכמים עצמם מדדו במידה האמיתית, או הקרובה לאמיתית, שפאי הוא יתר על שלוש ושביעית, ורק לתלמידים ושומעי השיעור נאמרו המידות המפושטות לצורך הקלת הלימוד. לפי דרך זו אין למדוד אליבא דאמת לפי כללי האצבע של חז״ל, כי כל מטרתם רק לצורך המחשה ולימוד אך לא למעשה.

ובאמת ר׳ יוחנן שאמר, לתירוץ הראשון בגמרא, שסוכה עגולה כשרה אם יש בהיקפה י״ח אמות, על פי הערך האמיתי של פאי ושורש 2 יש בה ריבוע חסום בעל אורך צלע של 4.05, מעט יותר מן הדרוש לסוכה, 4 אמות, והרבה פחות מן החישוב על פי הקירוב של חכמים שאורך הצלע הוא 4.29. כלפי אותם שיעורים וקירובים כתבה הגמרא שר׳ יוחנן לא דייק, אך ביחס לחישובים האמיתיים נראה שדברי ר׳ יוחנן נמצאו מדוייקים כמעט לגמרי. יתרה מכך, לפי חישובי החכמים די בהיקף של 16.8 במעגל החוסם, דהיינו קוטר באורך 5.6 ו22.8 אנשים היושבים מחוץ היקף המעגל, ומדוע אמר ר׳ יוחנן עשרים וארבעה ולא עשרים ושלושה, ואף הוסיף וכתב שאם לאו פסולה. השתא דאמרינן שהערך הקובע הוא הערך האמיתי וכל קביעת חז״ל אינה אלא לשם הלימוד והפשטות, תינח דאכן אין הסוכה כשרה בפחות מעשרים וארבעה, שכן לפי האמת קוטר המעגל הוא 5.657 וצריך כמעט בדיוק 24 אנשים שישבו מסביב להיקף.

ולגבי דברי חכמי קיסרי, מה חידשו בראשיתם שריבוע החוסם את המעגל היקפו מרובה עליו פי 4/3 ומה כיוונו באחריתם שריבוע החסום במעגל, המעגל מרובה ממנו פי אחד וחצי, יש לומר כי דבריהם נתפרשו שלא ככוונתם. חכמי קיסרי הוצרכו לומר בכמה ריבוע יתר על המעגל החסום, אף שדבר מעין זה כבר הוסבר בכמה מקומות, לפי שלא דיברו על יחס ההיקף, כפי שאחזו המשנה והגמרא, אלא על יחס השטח. הנה, גם היחס בין השטחים של הריבוע החוסם והמעגל החסום הוא 4/3, כפי שהמשנה והגמרא ציינו לגבי ההיקף. והיחס בין השטחים של המעגל החוסם והריבוע החסום הוא 1.5 על פי שיעור חז״ל, גדול בהרבה מהיחס בין ההיקפים.

וכעת שדברי חכמי קיסרי הועמדו בחישוב השטח ולא בחישוב ההיקף, נראה להבין באותה הדרך גם את דברי ר׳ יוחנן, שונה לחלוטין מהדרך בה הובנו הדברים בתירוץ הראשון. רבי יוחנן אמר כי בסוכה עגולה, אם יש בהיקפה כדי לישב בה כד בני אדם כשרה, בה נתפרש בגמרא בפשטות כישיבה בהיקף, אך הדבר אינו מוכרח. ניתן לומר שר׳ יוחנן מצריך ליישב בסוכה עצמה עשרים וארבעה אנשים, וסוכה כזו שהיקפה מספיק כדי שבתוכה ישבו עשרים וארבעה אנשים כשרה. ובאמת, סוכה ששטחה הוא 23.52, או 24 אם מעגלים, על פי שיעורי חז״ל וכפי שחישבו חכמי קיסרי אפשר לחסום בתוכה ריבוע של ד׳ על ד׳ אמות.

נמצא כי המהלך הראשון בגמרא, חישוב מבוסס היקף, שונה בדרכו מהמהלך השני בגמרא, חישוב מבוסס שטח. אך נדמה כי ישנו הבדל אף יותר עמוק גם במהות. החישוב הראשון השתמש בשיעורי חז״ל והעיר לבסוף כי ר׳ יוחנן לא דק. כפי שנתבאר, ר׳ יוחנן לא דק על פי שיעורי חז״ל, אבל על פי החישובים האמיתיים הוא כן דייק. משמעות הדברים היא שהשיעורים שנתנו חז״ל ביחס ההיקף והקוטר ובאלכסון הריבוע אכן לא נועדו למעשה. את החישוב בפועל צריך לבצע בצורה מדוייקת ולא על ידי הקירובים האלו שלא נועדו אלא ככלל אצבע להקל על הלימוד וכפי שכתב הרשב״ץ. לעומת זאת, החישוב השני שמעמיד את דברי ר׳ יוחנן במידת שטח ועל פי חכמי קיסרי העוסקים ביחסי השטחים, החישוב עקבי עם המידות שנתנו חז״ל ויוצא מדוייק על פיהם. בהמהלך זה ר׳ יוחנן דק דווקא לפי שיעורי חז״ל, ובהכרח יש לומר ששיעורים אלו ניתנו כדי להשתמש בהם הלכה למעשה וכדברי הרמב״ם ז״ל:

תוספת לרגל אירוח החלאקה של אלי. אמרנו כי בשיעור של חז״ל שהיחס בין ההיקף לקוטר הוא שלוש ישנן שתי הבנות. הבנה אחת כי מדובר בשיעור מהותי, אין דומה פחות משלוש ליותר משלוש. והבנה שנייה כי מדובר בכלל אצבע, איזשהו אמצעי לסייע לנו, אבל אין דבר מהותי דווקא במספר שלוש. כך גם בהגיע אלי לגיל שלוש, אפשר להסתכל על הדבר בשני פנים, שאמת בשניהם. מצד אחד מדובר בהתקדמות הדרגתית שקורית כל הזמן. אין דומה שנה לשנתיים, אין דומה שנתיים לשנתיים וחצי ואין דומה שנתיים וחצי לשלוש. אנחנו מקיימים מאורע בגיל שלוש כדי להתבונן על ההתקדמות שהולכת וקורית כל הזמן, גם בגיל שלוש, גם לפני כן וגם אחרי כן. מצד שני, אנחנו בכל זאת מקיימים מאורע של חלאקה ומבצעים פעולות מוחשיות דווקא כעת, תספורת, כיפה וציצית. אנחנו מסתכלים על גיל שלוש גם כסף מהותי שהחל ממנו כפי שכתב הילקוט שמעוני, ונטעתם וערלתם את פריו, מדבר בתינוק, שלוש שנים יהיה לכם ערלים, שאינו יכול לא להשיח ולא לדבר, ובשנה הרביעית יהיה כל פריו קודש, שאביו מקדשו לתורה, הילולים, שמהלל להקב״ה: